根据《劳动合同法》第46条的规定，固定期限劳动合同到期后，公司与员工终止劳动合同，应向员工支付补偿金，支付经济补偿金的年限自《劳动合同法》实施之日，也就是自2008年1月1日起算。
    按照《劳动合同法》第47条规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
    赵女士自2006年1月与公司签约，合同于2010年12月31日到期，所以支付补偿金的期限应该从《劳动合同法》实施之日，也就是自2008年1月1日起算，截止到2010年12月31日，所以公司应该支付赵女士两个月的工资，而不是一个月的工资，赵女士应向公司追偿。
    参考法条：
    《劳动合同法》第44条规定，有下列情形之一的，劳动合同终止：（一）劳动合同期满的；（二）劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的；（三）劳动者死亡，或者被人民法院宣告死亡或者宣告失踪的；（四）用人单位被依法宣告破产的；（五）用人单位被吊销营业执照、责令关闭、撤销或者用人单位决定提前解散的；（六）法律、行政法规规定的其他情形。
    《劳动合同法》第46条规定，有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：（一）劳动者依照本法第38条规定解除劳动合同的；（二）用人单位依照本法第36条规定向劳动者提出解除劳动合同并与劳动者协商一致解除劳动合同的；（三）用人单位依照本法第40条规定解除劳动合同的；（四）用人单位依照本法第41条第一款规定解除劳动合同的；（五）除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第44条第一项规定终止固定期限劳动合同的……
    《劳动合同法》第47条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
    劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
    本条所称月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

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